Relations de Kramers-Krönig - Relations de dispersion
Théorème
Relations de Kramers-Krönig, ou relations de dispersion :
Soit \(f\) un signal causal et \(F(f)(\xi)={{A(\xi)+iB(\xi)}}\) sa transformée de Fourier, alors : $${{B(\xi)}}={{\frac1\pi\operatorname{VP}\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{A(u)}{u-\xi}\,du}}\quad\text{ et }\quad {{A(\xi)}}={{\frac1\pi\operatorname{VP}\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{B(u)}{\xi-u}\,du}}$$ on dit que \(B\) est la transformée de Hilbert de \(A\) et \(A\) est la transformée de Hilbert inverse de \(B\)
\(\operatorname{VP}\) désigne la valeur principale de l'intégrale (cf. Appendice)
(Transformation de Fourier - Transformée de Fourier, Transformée de Hilbert, Transformée de Hilbert inverse, Appendice)
